図で解くフーリエ級数展開記事

2016-12-14

しおん


 こんにちは。

最近めっきり寒くなってきましたね{{{{(+_+;)}}}

コートがもう手放せない季節になってまいりました。

お布団も僕を放してくれないので毎朝ぬくぬくしてしまいます。

 

さて、僕は最近回路理論の演習で、去年やったフーリエ級数展開をひたすら解いてたのですが(だるい)

多くの参考書のフーリエ級数展開は波形が偶関数か奇関数かに着目するだけで、それ以上の対称性に着目していることが少ないと思うのです。

 

具体例を交えつつ考えてみましょう。

下図をpythonで描いてみました。

フーリエ級数展開

 

図の赤線の波形をフーリエ級数展開したい場合を考えます。

オシロスコープに矩形波が入力されたとき、オシロスコープには周波数帯域があるので、立ち上がりにτ[s]の遅延が発生し、赤い線のような波形になります。

なので、応用上でよく起こる波形と言えるでしょう。

この赤い線の波形をf(x)とおいてフーリエ級数展開すると、定義より

ただし

フーリエ級数展開

となります。(出典:wikipedia)

 

ここでf(x)は奇関数なのでan=0となるのはいいとして、

残ったbnを直接計算しようとすると、積分区間の端点にτ、π-τ、π+τ、2π-τがでてきてちょっとめんどくさい。何かいい方法はないでしょうか。

 

この積分は実は[0,π/2]を計算するだけでよくて、さらにbnnも奇数のみに限られるのですが、僕はこれが図を描くと簡単にわかると思いました。

フーリエ級数展開

級数展開するf(x)sin関数もすべてπにおいて対称です。どうやらこの対称性が使えそうです。

 

ここで異なるのは、f(x)sinx(π,0)で点対称であるのに対し、sin2xx=πで線対称となっていることです。

 

ここで計算したいのはf(x)sinxの積分と、f(x)sin2xの積分です。

 

まずf(x)sinxの積分値について考えると、[π,2π][0,π]sinxf(x)-sinx-f(x)になっただけなので、f(x)sinxの積分値は[0,π]と同じになります。よって[0,π]の積分値の二倍が[0,2π]の積分値になります。

 

一方でf(x)sin2xについて考えると、[π,2π][0,π]sin2xf(x)sin2x-f(x)になっただけなので、f(x)sin2x の積分値は[0,π]と同じ大きさで負になったものになります。

よって全体の積分をとると、打ち消し合って0になります。

 

次に一般化してsin(奇数)xsin(偶数)xについて考えてみます。

先例と同様にsin(奇数)x(π,0)で点対称となり、sin(偶数)x(π,0)で線対称となります。

よってsin(奇数)xが残り、f(x)sin(奇数)xの積分値は[0,π]の部分の二倍ということが分かります。

 

最後に[0,π/2][π/2,π]の対称性に着目します。

f(x)sinxのどちらもx=π/2で線対称ですね。これは図より明らかに積のf(x)sinxの積分値は[0,π/2][π/2,π]でそれぞれ同じです。よって[0,π/2]だけ考えればよいです。f(x)sin(奇数)xについても同様です。

 

よってbnの積分は実は[0,π/2]を計算するだけでよくて、さらにbnnも奇数のみに限られることが分かりました。

 

この記事では具体的な数式を使わずに定性的なことばかり言っていますが、コラムなので許してくださいm(__)m 

また、教科書に対称性を使うことが書いてあったらすみません。少なくとも僕が習った範囲では、習わなかったと記憶しております。

間違っているところなどあったら指摘をお願いします。

しおん

理系を身近に感じられるような記事をめざしてます!よろしくお願いします。(`・ω・´)

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