2017.02.21

ベイズの定理って?

しおん



こんにちは。りけぷらのしおんです。

「春休みこそ頑張るぞい」っと計画していたことが色々あったのですが、いざ休みになってしまうとどうも一人でモチベ維持が難しくて辛いですね。

趣味に研究、ゲーム、旅行、バイトと、やりたいことだけいっぱいあるのが大学生の常だと思ってます。皆さんは、いかがお過ごしでしょうか。


今日はベイズの定理というものについてお話しします。




まず問題設定として、

「とある病気は10000人に1人がかかり、陽性の場合必ず99%の確率で正しく診断されるが、陰性であるとき1%の確率で誤って陽性と診断されてしまう(偽陽性)。この診断を受けるべきだろうか」

ということを考えます。


これは高校でもよくある、条件付き確率ですよね。
陽性と診断されたとき、実際に陽性である確率を考えたいですよね。これは

P(実際に陽性|陽性と診断)

と表現され、

P(実際に陽性|陽性と診断)=P(実際に陽性 , 陽性と診断)/P(陽性と診断)

と条件付き確率の定義を適応できます。ここで上記の, は「かつ」を表し、P(実際に陽性 , 陽性と診断)は同時確率を表します。


ここで
実際に陽性である、と陽性と診断される、が同時に起こる確率というのは、まず実際に陽性であるような条件下で、実際に陽性であるとき陽性と診断されるような確率と同じですよね。
よって同時確率は以下のように分解できます。

P(実際に陽性,陽性と診断)=P(陽性と診断|実際に陽性)P(実際に陽性)


これを最初の式に適応すると、

P(実際に陽性|陽性と診断)=P(陽性と診断|実際に陽性)P(実際に陽性)
/P(陽性と診断)

となります。

これを具体的に計算すると、

P(実際に陽性|陽性と診断)=(99/100 *1/10000)/(P(正常な人を陽性と診断)+P(病気の人を陽性と診断))
=(0.99 *0.0001)/(0.9999*0.01+0.0001*0.01)=0.0099

となるので、陽性であると診断されて実際に陽性である確率が1%程度しかないということです。

ということでこの診断はてんでダメですよね。

これを一般化して、事象AとBと確率に対して、P(A)>0のとき、


が成立することがベイズの定理の定義式です。

ここでP(B)を事前確率、P(B|A)を事後確率といいます。


これが実際にどんなことに応用されているか、ということについて、また今度追って紹介しようと思います。

これはベイズの定理のほんの一部の導入にすぎませんが、悪しからず。
詳しくは色々調べてみてください。

読んでくれてありがとうございました。
りけぷらのしおんでした。

しおん

理系を身近に感じられるような記事をめざしてます!よろしくお願いします。(`・ω・´)

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